Soma em Subconjuntos,
Problema Inverso da Média Aritmética e Equações Diofantinas Lineares:
Resoluções Fáceis a Partir de uma Nova Generalização do Quadrado Mágico de Luo
Shu
Lohans de Oliveira Miranda1, Lossian Barbosa Bacelar Miranda2
1Secretaria de Educação do Estado do Piauí, Piauí, Brasil; 2IFPI,
Teresina, Piauí, Brasil, lossianm@gmail.com
Resumo: Estabelecemos um método de construção de quadrados mágicos
que generaliza o quadrado mágico de Luo Shu e, a partir dele, estabelecemos um
modo direto de resolver problemas de soma em subconjuntos, achar números
naturais positivos que têm determinada média aritmética e também estabelecer
método alternativo para resolver de modo direto equações diofantinas lineares,
de muitas maneiras.
Palavras-chave: Soma em subconjuntos,
Problema inverso da média aritmética, Equações diofantinas lineares, Nova
generalização do quadrado mágico de Luo Shu, Aproximações multifárias, Ensino
de ciências.
1. Introdução
Nazareno Fonteles diz que os
conhecimentos ocorrem por aproximações multifárias, inclusive na Matemática
([13], p. 23). A classificação dos quadrados mágicos é o problema aberto mais
antigo da Aritmética, remontando à lenda de Hetu Luo Shu (Cf. [22]). No
reconhecimento estatal do quadrado mágico de Luo Shu sob a Presidência de Xi
Jinping, foi estabelecido que o mesmo “It has influence on the way of thinking
and behavior of the Chinese people” ([23], p. 4).
Nosso estudo está ligado à
epistemologia de Nazareno Fonteles pois, apesar das ideias embrionárias das
quais ele trata serem antigas, sua sistematização nos fez revisar aspectos
formais do Luo Shu. Em [16] tivemos que decidir se havíamos ou não descoberto
infinitos métodos de construção de quadrados mágicos. Em [12] estabelecemos uma
definição de método de construção de quadrados mágicos mas os tratadistas ainda
não falam numa linguagem única, sequer sobre este conceito. Em trocas de
e-mails com Ahmad Hajj Diab, o mesmo nos disse que a definição de método seria
um problema filosófico. Esse pesquisador já apontava na direção da importância
da sistematização de Nazareno Fonteles. Descobertas no estudo dos quadrados
mágicos (problema rústico e ancestral, [3]) são ainda enigmáticos. Dentro da
epistemologia de Nazareno Fonteles essa nossa nova generalização do quadrado
mágico de Luo Shu, e as aplicações que agora fazemos, seriam consequências do
Princípio Holístico de Pascal Aproximado ([13], p. 105). Conforme [1], a “razão”
pela qual alguns matemáticos têm mais intuição para descobrir métodos de construção
de quadrados mágicos do que outros, é mágica. Seguiremos a notação de [2] e
[21] será transcrito em muitas partes deste artigo.
Como novos padrões holísticos do
antigo quadrado mágico de Luo Shu (neste só existem os nove primeiros números naturais),
os quadrados mágicos generalizados de Luo Shu (infinitos quadrados mágicos
generalizados de Luo Shu podem conter qualquer número natural positivo) possuem
dentro de si as propriedades herdadas do Luo Shu, além de outras que brevemente
serão descobertas. Algumas delas, nós apresentamos aqui.
2. Conceitos Básicos e Notações
3. Generalização do Quadrado Mágico Luo Shu
Em quase todas as pesquisas que fizemos
relacionadas aos quadrados mágicos (Cf. [1], [3]-[12] , [14]-[21]) nós usamos
as progressões aritméticas, imitando o quadrado mágico de Luo Shu.
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Quadrado mágico de Luo Shu
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19 |
15 |
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4. Alguns Fatos Correlacionados e Aplicações
Esse método é uma generalização natural do Luo Shu e é também natural que o mesmo não seja simplesmente um método a mais. E de fato não é, é uma virada dialética na teoria dos quadrados mágicos e suas aplicações, conforme veremos. Mas antes, vejamos dois simples resultados vinculados ao enunciado e demonstração da Proposição 1. De fato, na passagem da intuição do método para o enunciado do que deveria ser demonstrado apareceram sequências as quais não eram aritméticas como as do Luo Shu, {1, 2, 3} e {9, 8, 7} ou as de Narayana, o qual disse que os quadrados mágicos estavam associados às progressões aritméticas. Para essas sequências as diferenças entre os seus termos consecutivos é que são aritméticas.
4.1. O Problema de Soma de Subconjuntos
5. Problema Inverso da Média Aritmética
Portanto, dentro de
todas as possibilidades vistas no capítulo anterior, podemos achar a partir do
generalizado Luo Shu conjuntos de números naturais cuja média aritmética é
igual a qualquer número pré-fixado 
. Tanto no Capítulo 4
quanto neste, uma grande dúvida consiste em saber se todos os conjuntos cujas
médias aritméticas são iguais a determinado número podem ser achados variando 
, 
e todas as possibilidades de escolha de
conjuntos apresentadas no Capítulo 4.
6. Equações Diofantinas
Exemplo
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Conjuntos de números cujas médias
aritméticas são iguais a 13:
{13};
{14,4,21}, {20,13,6}, {5,22,12},
{14,20,5}, {4,13,22}, {21,6,12}, {12,13,14}, {5,13,21};
{14,4,21,6,12,22,5,20};
{15,7,1,18,24,17,3,10,11,8,25,19,2,16,23,9}.
Note que as uniões disjuntas
destes onze conjuntos têm elementos cujas médias aritméticas são também iguais
a 13.
7. Conclusão
Ficou estabelecida um novo método
de construção de quadrados mágicos o qual constrói quadrados mágicos para todas
as ordens ímpares. Para a ordem três o método gera o quadrado mágico de Luo
Shu, constituindo uma generalização do mesmo. Para cada número ímpar 
, a partir da
generalização 
do quadrado mágico de Luo Shu (o generalizado
de Luo Shu de ordem 
), podemos fazer muitos
outros de mesma ordem de modo que essa quantidade cresce mais do que
exponencialmente com o aumento de . Isso permite
estabelecer infinitos métodos de construção de quadrados mágicos de ordens
ímpares. Tanto o generalizado de Luo Shu de ordem quanto os seus derivados a partir dos
infinitos métodos a ele relacionados, possuem propriedades de simetria notáveis.
A descoberta desses novos métodos reforça as teses epistemológicas de Nazareno Fonteles, Nagarjuna, Antifonte de Atenas, Zenão e outros filósofos que estudaram as aproximações multifárias. É nossa esperança que a beleza e os padrões de equilíbrio do generalizado de Luo Shu tenham boas aplicações práticas, como as teve o quadrado mágico de Luo Shu durante esses mais de 4443 anos. As aplicações que vimos são provas de que esses quadrados mágicos generalizados de Lo Shu já possuem consideráveis aplicações, pois já trazem embutidos em si mesmos uma quantidade grande de conjuntos (que cresce com a ordem) de números naturais diferentes dois a dois cujas somas são conhecidas e cujas médias aritméticas são também conhecidas. O impacto prático disso é profundo na Aritmética.
Referências
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Literature Studies 8(4): 190-194, 2020.
