Apologia aos quadrados mágicos

Em 650 antes de Cristo filósofos chineses escreveram sobre o quadrado mágico Lo Shu, fazendo referência a uma lenda vinculada às dinastias do terceiro milênio antes de Cristo (https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/7957377/mod_resource/content/1/cronologia_MR.pdf e Lenda de Hetu Luoshu, Cidade de Luoyang, província de Henan, https://www.gov.cn/zhengce/content/2014-12/03/content_9286.htm). 

O Lo Shu é uma matriz 3X3 com todos os números do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} e tal que os números de suas linhas, colunas e diagonais, somam 15 (quadrado mágico é a generalização do Lo Shu para matriizes, 4X4, 5X5, 6X6, etc.). O único quadrado mágico 1X1 é a matriz (1). Os quadrados mágicos 2X2 não existem. Os oito quadrados mágicos  3X3 são os derivados do seguinte

Figura 1. Quadrado mágico Lo Shu. Fonte: Wikipédia

por rotações de 0°, 90°, 180° e 270° e mais quatro reflexões em simetrias bilaterais. Descobrí-los não foi nada fácil, pois exige um complexo raciocínio heurístico. E tentar repetirr esse raciocínio para os de ordem 4X4 (de ordem quatro) ou maiores não ajuda muito. Aliás, na prática nada ajudou, pois o de ordem 4 só foi feito na Índia uns dois mil anos depois do Lo Shu ter sido feito na China, a partir de estudos de Nagarjuna no segundo século depois de Cristo (https://minpaku.repo.nii.ac.jp/records/4327):

The first example hitherto known of a magic square of order four occurs in the Brhatsanzhita (ca. A.D. 550), written by Varahamihira, an Indian authority on astronomy and divination (Fig. 1.3). The Kaksaputa, a work on magic ascribed to the famous Buddhist philosopher Nagarjuna (2nd century A.D.), contains a magic square of order four, but the authenticity of the work is doubtful. 

Com o Lo Shu se estabelece em toda a sua pujança o Estado Chinês, estreitamente vinculado à Matemática. Os pontos cardeais estão vinculados ao Lo Shu e, o mito do homem e da mulher originais (presentes nas culturas mais antigas, não só na judaica mais recente!), é modelado pelo Lo Shu, pois 15 é o número da mulher original e 45 = 1+2+3+...+9 = 15+15+15 é o número do homem inicial. 

É falso qualquer relato que diz que os quadrados mágicos não têm aplicações práticas. Na China antiga, as próprias formações militares seguiam o padrão do Lo Shu e, o primeiro quadrado mágico de ordem 4 veio ao mundo sob a forma de uma receita de construção de perfume. Acredita-se que teriam sido usados na produção musical, na antiga Índia. Nós próprios, apresentamos em 2015 um pôster no IMPA onde provamos que alguns quadrados mágicos são generalizações discretas bidimensionais da lei da alavanca de Arquimedes. De modo mais preciso, nesse trabalho nós estabelecemos um método de construção de quadrados (e também hipercubos) mágicos feito a partir da lei da alavanca (https://www.academia.edu/37093220/Law_of_the_lever_and_the_equilibrium_of_magic_hypercubes). Em 2020 engenheiros da Africa do Sul, por exemplo, usaram nosso artigo Lohans' Magic Squares and the Gaussian Elimination Method (https://typeset.io/papers/lohans-magic-squares-and-the-gaussian-elimination-method-57jlln61nu) para diminuir gastos de enerrgia em wireless. 

A classificação dos quadrados mágicos (saber quantos e quais são para cada ordem n), posta pelos chineses por volta de 2400 antes de Cristo), é o problema não resolvido mais velho da Matemática. Até agora só temos a classificação para as ordens 1, 2, 3, 4 e 5. Note que a classificação dos quadrados mágicos implica de modo óbvio a classificação dos números primos. Recentemente nós provamos de forma não estatística que o número deles cresce pelo menos com a ordem 2^(Cn,2). 

Porque eles se dizem mágicos? Falam que teriam sido usados em magia. Mas porque a magia, coisa além da ciência e da religião, os teria acolhido? Eu penso que é porque para descobrir os métodos usuais a partir dos quais os mesmos são feitos, é necessário um estado mental no qual o raciocínio calculativo (matemático!) é absolutamente eliminado. Na busca por descobrir um método, não se deve calcular, o método tem que vir por pura "intuição", por "estalo", como falavam no século passado alguns bons educadores. Não importa o quanto inteligente ou bom matemático você seja, se você não se coloca nesse estado mental especial, jamais conseguirás descobrir um método de moto próprio. Podes, por analogia como fiz, achar, mas não "do zero", como costumamos dizer aqui no Piauí-Brasil. Essa é a mensagem mágica. De fato, Einstein, Maxwell, Newton, Pitágoras, Tales, Aristóteles, Lagrange, Arnold, Steve Smale, George Cantor, Fermat, Agripa, Cardano, Donald Knuth e David Hilbert não fizeram métodos de construção de quadrados mágicos e matemáticos muito menos talentosos fizeram. Mas Euler (o maior da Europa), Nagarjuna e Narayan Pandita (os maiores da Índia) e John Horton Conway (o maior que a covid matou!) fizeram. 

Quadrados mágicos são soluções inteiras positivas de sistemas lineares naturalmente construídos. Estão na ponte entre a linearidade e a não linearidade, entre a continuidade e a discretização. Exatamente por isso, avanços nessa teoria de classificação são cruciais para a Matemática e a Humanidade. A classificação colocaria o ser humano num novo patamar civilizatório.